CHAPTER (1) Sets and Functions

1.1 Sets
အစု(set)

ရှင်းလင်းစွာသတ်မှတ်န်ိင်သောအရာများ၏အစုအဝေးသည်

အစု ဖြစ်သည်။

အစုဝင်(element)
  စုတွင်ပါဝင်သောအရာများကို အစုဝင် ဟုခေါ်သည်။
အစုကိုအင်္ဂလိပ်စာလုံးအကြီးA,B,C,စသည်ဖြင့်၊၊အစုဝင်ကိုအင်္အင်္ဂလိပ်စာလုံးသေး a,b,c, စသည်ဖြင့်  ည္ျ
သသင်ေ

အစု‌ေတွကို  curly brackets {  }အတွင်း  အစုရဲ့
အစုဝင္ေတြေဖာ္ျပ၍(သို႔)အစုဝင္ေတြကိုေဖာ္ေဆာင္တဲ့စာသားထည့္ျပီးေဖာ္ျပေသးတယ္။
   ဒါဆိုယင်င္် {1,2,3} နဲ့ {first three natural numbers} ႏွစ္ခုလံုးဟာ 1,2 နဲ့ 3 တို့ရဲ့အစု
ကိုေဖာ်ပြတယ်‌‌ပေါ့။
     အစုတခုရဲ႕အစုဝင္ေတြကိုတခုခ်င္းေနာက္
ဆံုးအစုဝင္တိုင္ေအာင္ေရတြက္ႏိုင္ရင္အဲဒီအစုကို finite(ဖိုင္းႏိုက္ထ္) မေရတြက္ႏိုင္ပါက infinite(အင္ဖိုင္းႏိုက္ထ္) အစုလို႔ေခၚတယ္။
    2,4,6,8, . . . ဆိုယင္ infinite ေပါ့။ေနာက္ဆံုးအစုဝင္ကိုမရႏိုင္လို႔ေပါ့။ အစုဝင္မပါတဲ့အစုကို  empty(အမ္းပတီး)set ဒါမွမဟုတ္ null( န်ဴ  )set ​ဗမာလိုပလာအစုလို႔ေခၚတယ္။အဲဒီအစုကို  ø (ဖိုင္)နဲ႔
သတ္မွတ္ျပီး finite set လို႔စဥ္းစားမယ္။
     ​ ေအာက္​ပါကိန္​းမ်ားအစု​ေတြကိုရင္​းႏွီးထားပါ။
{ natural numbers }=N={1,2,3,. . .}
{ integers }=Z={. . . ,-2,-1,0,1,2, . . .}
{ rational numbers }=Q={p/q| p and q are integers, q ≠ 0}
rational number အခ်ိဳ႕မွာ ½,⅞,- ⅔,8
  8 ကို 8/1 ပံုစံ​ေရးႏိုင္​တယ္​
q ≠ 0 ဆိုတာက q ဟာ "0" ျဖစ္ရင္စားမျပတ္ဘဲတိက်အ​ေျဖမရႏိုင္​လို႕ပါဘဲ။
rational numbers  မဟုတ္​တဲ့ကိန္​းစစ္​ ( real numbers )မ်ားရဲ႕အစုဟာ  irrational  numbers ရဲ႕အစုျဖစ္​ၿပီး  √ 2 ,  - √ 3 , π  တို႔ဟာဥပမာကိန္​းမ်ားျဖစ္တယ္။
 တူညီခြင်း ( equal )
Two set are equal if they have the  same members.
   တူညီေသာအစုဝင္မ်ားပါဝင္တဲ့အစုႏွစ္ခုသည္တူ
ညီၾကသည္။
  {1 , 2 , 3 } = { first three natural numbers }

အစုပိုင္း (subset)
    A set is called a subset of the another set if every element of the set is also an element of another set.
     အစုတခု၏အစုဝင္တိုင္းသည္အျခားအစု၏အစုဝင္တခုျဖစ္ေနလွ်င္၎အစုက္ုအျခားအစု၏အစုပိုင္း

ဟုေခၚသည္။

      အစုပိုင္းျဖစ္တာကိုသေကၤတ "⊂" ျဖင့္ေဖာ္ျပျပီး is subset of လို႔ဖတ္ရတယ္။
   { 1 , 2 , 3 } ⊂ { 1 , 2 , 3 , 4 } နဲ႔ { 1 , 2 , 3 } ⊂ { 1, 2 , 3 }
    ပလာအစုဟာအစုတိုင္းရဲ႕အစုပိုင္းျဖစ္တယ္။
x ဟာအစု A ရဲ႕အစုဝင္ျဖစ္တာကိုသေကၤတ x
  ∈ A လို႔ျပတယ္။မျဖစ္ရင္ေတာ့ x ∉A လို႔ျပမယ္။ slant bar  ' /  ' ကိုဆန္႔က်င္ဖက္အဓိပၸါယ္အတြက္သံုးတယ္။

Set Builder Form
G ဟာ 8 ထက္ငယ္တဲ့အေပါင္းကိန္းျပည့္မ်ားရဲ႕အစု
ဆိုပါစို႔

ေယဘူယ် အစုဝင္ x ဆိုပါစို႔

x ဟာအေပါင္းကိန္းျပည့္နဲ႔  x < 8 ဆိုတဲ့ႏွစ္ခ်က္
ဒါေၾကာင့္
  G = { x / x is a positive integer and x < 8 }
လို႔ေရးႏိုင္တယ္။
G is the set of all x such that x is a positive integer and x is less than 8 လို႔ဖတ္ရတယ္
အဲဒီလိုေဖာ္ျပတာကို set builder form လို႔သိရမယ္
အထက္ပါဥပမာမွာေယဘူယ် အဖဲြဲ႕ဝင္ x ရဲ႕တန္ဖိုးဟာ 1,2,3,4,5,6 နဲ႔ 7   ျဖစ္တယ္
ဒါဆိုအစု G ကို
   G = {1,2,3,4,5,6,7} လို႔ေရးႏိုင္တာေပါ့
အဲဒီေတာ့အစုတခုကို(1)စာသား(2)
အစုပံုစံ(3)အစုဝင္ျပ ဆိုျပီး 3 နည္းနဲ႔ေဖာ္ျပႏိုင္တာေပါ့

Example 1. x²+2x-3=0  ရဲ႕အ​ေျဖအစုဟာ A ဆိုပါစို႔(1)အစုပံုစံ(2)အစုဝင္ျပတို႔ကိုေဖာ္ျပပါ။
Solution
   1. A={x/x²+2x-3=0}

 ၎ညီမွ်ျခင္​းကို​ေျဖ႐ွင္​းပါက x = -3 နဲ႔ x=1

   2. A = { 1 , -3 }

Example 2. A = {1,2,3,4,5,6,7}ကိုအစုပံုစံျဖင့္ျပပါ။
Solution
A ရဲ႕အစုဝင္​​ေတြအားလံုးဟာ ၈ ထက္​ငယ္တဲ့  အ​ေပါင္​းကိန္​းျပည္​့မ်ားဘဲ
ဒါ​ေၾကာင္​့ A= {x/x is positive integer and x < 8 } လို႔ငါတို႔​ေရးႏိုင္​တယ္​။
A ရဲ႕အစုဝင္​​ေတြဟာသဘာဝကိန္​းမ်ားအစုရဲ႕ပထမခုႏွစ္​ကိန္​းလို႔လဲျမင္​ႏိုင္​တယ္ဒါဆို
 A = {x/x is one of the first seven natural numbers } လို႔ငါတို႔​ေရးႏိုင္​တယ္​
ဒါ​ေၾကာင္​့အစုတခုရဲ႕အစုပံုစံ​နဲ​႕​ေဖာ္​ျပျခင္​းဟာ
တခုတည္​းျဖစ္​ဖို႔မလိုဘူး​ေပါ့။

Example 3. A = {-1,0,1,2,3}နဲ႕B = {x/x is an integer and -2<x<4} ထားပါ။A=B ျဖစ္​သလား။​
Solution
A ဟာျမင္​သာၿပီး B ကမျမင္​သာဘူး၊ဒီ​ေတာ့
B ကိုငါတို႔အစုဝင္​ျပနဲ႔​ေဖာ္​ျပရမယ္​
B = {x/x is an integer and -2<x<4}
    = {x/x=-1 or x=0  or x=1 or x=2 or x=3}
    = {-1,0,1,2,3}
ဒါ​ေၾကာင္​့ A=B ျဖစ္​​တယ္​။​

Example 4. x နဲ႔ y ဟာကိန္​း႐ွင္​မ်ားျဖစ္​ၿပီးအ​ေပါင္​းကိန္​ျပည္​့တန္​ဖိုးျဖစ္​တယ္​။x+y=6 ရၿပီး(x,y)ပံုစံရိွတဲ့
L ရဲ႕အစုဝင္​​ေတြကို​ေရးပါ။
Solution
အစုပံုစံမွာ L = {(x,y)/x+y=6 , x and y are positive integer}
​ ေပါင္​းလဒ္​ ၆ ျဖစ္​တဲ​့ အ​ေပါင္​းကိန္​းျပည့္မ်ားအတြဲမ်ားမွာ
x=1,y=5;x=2,y=4;x=3,y=3;x=2,y=4;x=1,y=5 တို႔ျဖစ္​ၾကတယ္​။
ဒါဆို L ရဲ႕အစုဝင္​​ေတြဟာ(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)
ဒါ​ေၾကာင္​့
L = {(x,y)/x+y=6,x and y are positiveinteger} = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

Exercise 1.1
 ​ ေအာက္​ပါအစုတခုစီအတြက္​(1)အစုပံုစံ(2)အစုဝင္​ျပတို႔ကို​ေရးပါ။
1. The set N of natural numbers.
 solution
N = { 1 , 2 , 3 , _ _ _ }  
2. The set J of all positive integers
solution
J = { 1 , 2 , 3 , _ _ _ }
3.The set P of all prime numbers
solution
P = {2,3,5,7,11, _ _ _ }
4. The set A of all positive integers that lie between 1 and 13.
solution
A = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 12 }
5. 3x²+5x-2=0 ကို​ေျပလည္​​ေသာကိန္​းစစ္​မ်ားရဲ႕အစု B
solution
 ​ ေျပလည္​တဲ့ x ဆိုတာညီမ်ွျခင္​းရဲ႕အ​ေျဖကို​ေျပာတာ​ေပါ့
ညီမ်ွျခင္​းကို႐ွင္​းရင္​ x = ⅓ နဲ႔ x = -2 ရမယ္​k
ဒီ​ေတာ့ B = {x/3x²+5x-2=0} = {x / x = ⅓ or x = -2} = { ⅓ , -2 }
​ ေအာက္​ပါအစုမ်ားအတြက္​သင္​့တင္​့တဲ့အစုပံုစံကို​ေရြးပါ။
solution
6. E = { 2 , 4 , 6 , 8 }
(a) E = { x / x is an even integer less than 10 }
 = { x / x = 8 , x = 6 , x = 4 , x = 2 , x = 0 , x = -2 , ........}

x ဟာအ​ေပါင္​းစံုကိန္​းျပည္​့​ေတြျဖစ္​ၿပီး ၁၀ ​ ေအာက္​ငယ္​တာမို႔(a)မဟုတ္​ဘူး​ေပါ့ (a)မွာအ​ေပါင္​းလို႔မပါ​ေတာ့ -2,-4,. ​ ေတြပါ​ေနလို႔ဘဲ၊evenဆိုတာmultiple of 2 နဲ႔တူတယ္​။
(b)နဲ႔(c)
7.F = {3,6,9,12,15, . . .}
(a) F = { x / x is a positive integer that is divisible by 3}
         = { x/x=3,x=6,x=9,. . .}
         = {3,6,9, . . .}
(b) F = {x / x is a multiple of 3}
         = { x / . . . ,x=-6,x=-3,x=0,x=3,x=6, . . .}
         = {……, -6, -3,0,3,6,……}

(c) F = {x/x is anatural number that is divisible by 3}
         = {x/x=1,x=2.x=3,……that is divisible by 3}
         = {x/x=3,x=6,x=9.…}
         = { 3,6,9,……}
. (a)and(c)
8. A={x/x²+x-6=0}and B={-3,2} Is A=B?
Solution
B၏အစုဝင္မ်ားကိုျမင္သာေသာ္လည္းA၏အစုဝင္မ်ားကိုမျမင္သာေပ။ဒါေၾကာင့္Aကိုအစုဝင္ျပျဖင့္ေရးဖို ့ ရွာမယ္
x²+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
x+3=0 or x-2=0
 x=-3 or x=2
A={x/x=-3 or x=2}
A={-3,2}
A=B.

Intervels(ၾကားပိုင္းမ်ား)
 R(ကိန္းစစ္မ်ားအစု) ရဲ႕အစုပိုင္းမ်ားျဖစ္တဲ့ { x /-2 ≤ x ≤ 3 } , { x / -2 < x < 3 } , { x / x > 2 } တို ့ကို intervals (အင္တာဗယ္လ္စ္) ၾကားပိုင္းမ်ားဟုေခၚတယ္။
 ၾကားပိုင္းရဲ့ကိန္းမ်ားနွင့္ဆက္စပ္တဲ့ကိန္းစစ္မ်ဥ္းေပၚကအမွတ္မ်ားရဲ့အစုကိုၾကားပိုင္းပံုဟုေခၚသည္။အဲဒါဟာကိန္းစစ္မ်ဥ္းရဲ့မ်ဥ္းျပတ္ျဖစ္ျပီးအနက္ေရာင္မ်ဥ္းထူအျဖစ္အျမဲေဖာ္ျပတယ္။
 မ်ဥ္းျပတ္ရဲ႕အစ(သို႔)အဆံုးတို႔ပါလ်ွင္မ်ဥ္းျပတ္ရဲ့အစ(သို႔)အဆံုးမွာအနက္ေရာင္အမွတ္ဝိုင္းမွတ္သားပါ။
       အစေရာအဆံုးပါတဲ့ၾကားပိုင္းကို closed interval (ကလို႔စ္ဒ္အင္တာဗယ္)ၾကားပိုင္းပိတ္
လို႔ေခၚတယ္
{ x / -2 ≤ x ≤ 3 } ဟာ ၾကားပိုင္းပိတ္ျဖစ္ျပီးေအာက္
တြင္ေဖာ္ျပထားတယ္။

<-------◉---၊-----၊-----၊-----၊-----◉----->

         -2    -1        0         1        2         3
       ငါတို႔အဲဒီၾကားပိုင္းပိတ္ကို [-2,3]လို႔လည္းေရး
နိုင္တယ္။
              မ်ဥ္းျပတ္ရဲ႕အစ(သို႔)အဆံုးတို႔မပါလ်ွင္
မ်ဥ္းျပတ္ရဲ႕ အစ(သို႔)အဆံုးမွာအျဖဴ ေရာင္အမွတ္
ဝိုင္းမွတ္သားပါ။
          အစေရာအဆံုးမပါတဲ့ၾကားပိုင္းကို open interval (အိုးပင္းန္အင္တာဗယ္)ၾကားပိုင္းပြင့္
လို႔ေခၚတယ္။
  { x / -2 < x  < 3  }ဟာၾကားပိုင္းပြင့္ျဖစ္ျပီးေအာက္
တြင္ေဖာ္ျပထားတယ္။
<-------⊙----၊----၊----၊----၊---⊙------->
           -2     -1     0      1     2      3
ငါတို ့အဲဒီၾကားပိုင္းပြင့္ကို(-2 , 3)လို ့လည္းေရးနိုင္တ
ယ္။
  ၾကားပိုင္း { x/ x > 2 } မွာ 2 ထက္ၾကီးတဲ့ကိန္းစစ္ေတြအားလံုးပါတယ္။အဲဒါရဲ့ကိန္းစစ္မ်ဥ္းေပၚမွာရွိတဲ့အမွတ္ေတြရဲ့အစုပံုဟာ 2 အမွတ္ရဲ့ညာဖက္တေလ်ွာက္ရွိၿပီးညာဖက္
ဆီသို႔အဆံုးမဲ့ဆက္ရွိေနမယ္။ငါတို႔အဲဒီပံုကိုေအာက္
မွာဆဲြျပနိုင္တယ္။

<----၊---⊙--၊---->
0    1    2    3
ငါတို ့{ x / 2 < x < ∞ } လို႔ေရးထားတဲ့ၾကားပိုင္းမွာ  "∞" ဟာ infinity (အင္ဖင္နတီ)အနႏၲကိန္းျဖစ္တယ္။အဲဒီၾကားပိုင္းပြင့္ကို ( 2 , ∞) လို႔ငါတို႔ေရးျမဲပါ။ေအာက္ပါၾကားပိုင္းပံုစံမ်ားလည္းဘဲငါတို႔ရွိႏိုင္တယ္
         { x / -2 ≤ x < 3 } ကို [-2 , 3)  , { x /-2 < X ≤ 3 } ကို (-2 , 3 ] .
ေအာက္မွာအဲဒါေတြရဲ့ပံုဘဲ
 <-------◉-----၊------၊-----၊-----၊----⊙------>
          -2     -1       0     1     2     3                         

<--------⊙-----၊------၊-----၊-----၊-----◉----------->
          -2     -1        0      1      2       3
  


Example 1  ၾကားပိုင္း{ x / x ≤ -1 } ရဲ့ပံုကိုဆဲြပါ။ၾကားပိုင္းပြင့္/ပိတ္ပံုစံျဖင့္ျပန္ေရးပါ။

 <------◉----------------------->
    -3 -2  -1  0  1  2  3
( -œ , -1]

ၾကားပိုင္းေတြဟာအစုေတြဘဲျဖစ္တာေၾကာင့္ငါတို ့ ၾကားပိုင္းႏွစ္ခုရဲ့ေႏွာျခင္းနဲ႔ျဖတ္ျခင္းေတြရွာႏိုင္တယ္။

Example 2 ​ ေအာက္​ပါတို႔ကိုကိန္​းစစ္​မ်ဥ္​း​ေပၚတြင္​ပံုဆြဲျပပါ။
(a) P = { x / x ≥ 1, x ∈ R } (b) Q = { x / x < 4, x ∊ R } (c) P ∪ Q (d) P ⋂ Q ကိုအစုပံုစံနဲ႔​ေရးပါ။
Fig.1.7,Fig.1.8,Fig.1.9,Fig.1.10 တို႔ကိုသင္​႐ိုးစာအုပ္​တြင္​ၾကည္​့ရန္​
P ⋂ Q ရဲ႕အစုပံုစံမွာ { x / 1 ≤ x < 4 }
Exercise 1.2 (တြက္ၾကည့္)
Intersection of Sets
        P ႏွင့္ Q အစုႏွစ္ခု၏ျဖတ္ျခင္းအစုဆိုသည္မွာ P ႏွင့္ Q ႏွစ္ခုလံုးတြင္ပါဝင္ေသာအစုဝင္မ်ား၏အစု
ျဖစ္သည္။၎ကို P⋂Q ဟုသတ္မွတ္ျပီး P intersection Q ဟုဖတ္သည္။

Example 1,2(Text တြင္ၾကည့္)

Union of Sets
    A ႏွင့္ B အစုွႏွစ္ခု၏ေႏွာျခင္းဆိုသည္မွာ A (သို႔) B (သို႔) A ႏွင့္ B ႏွစ္ခုလံုးတြင္ပါဝင္ေသာအစုဝင္မ်ား
၏အစုျဖစ္သည္။ A∪B လို႔သတ္မွတ္ျပီး A union  B ဟုဖတ္သည္။

Difference of two Sets
    A ႏွင့္ B အစုႏွစ္ခု၏ျခားနားျခင္းဆိုသည္မွာ A ၌ပါဝင္ၿပီး B တြင္မပါေသာအစုဝင္မ်ား၏အစုပင္​
ျဖစ္သည္။၎ကို A\Bဟုသတ္​မွတ္​ၿပီး A different B ဟုဖတ္​သည္​။
Note: A\B ကိုတြက္​ထုတ္​ရန္​​ေအာက္​ပါအ
တိုင္​းလုပ္​​ေဆာင္​ရပါမည္​။
Step 1: A ရဲ႕အစုဝင္​​ေတြ​ေရးခ်ပါ။
Step 2: B ရဲ႕အစုဝင္​​ေတြနဲ႔တူတာပါရင္​ခ်စ္​ဖ်က္​ပါ။
Step 3: က ်န္​တဲ့အစုဝင္​​ေတြရဲ႕အစုဟာA\Bပဲျဖစ္​တယ္​။

Example 1 A = { x / x is an integer, 0 < x < 8 } နဲ႔ B = { x / x is positive integer less than 17 and x is a multiple of 4}ဆိုပါ​ေတာ့ A နဲ႔ B အစုဝင္​​ေတြ​ေရးျပပါ။​ေနာက္​ၿပီး A\B နဲ႔ B\Aကို႐ွာပါ။A\B=B\A ျဖစ္​သလား။
Solution
A ဟာ ၀ နဲ႔ ၈ ၾကားကိန္​းျပည္​့မ်ားရဲ႕အစု၊B ဟာ ၁၇
 ထက္​ငယ္​ၿပီး ၄ နဲ႔စားျပတ္​တဲ့အ​ေပါင္​းကိန္​းမ်ားရဲ႕
အစု
 A = {1,2,3,4,5,6,7}
 B = {4,8,12,16}
A\B={1,2,3,4,5,6,7}
      ={1,2,3,5,6,7}
B\A={4,8,12,16}
       ={8,12,16}
A\B is not equal to B\A

1.1.6 The Universal Set 
    A = { 0 , 2 , 4 , 6 } ၎ေနာက္
(1)အႏွုတ္မဟုတ္ေသာစံုကိန္းမ်ားအားလံုး၏အစု={0,2,4,6,8,……} or (2)အႏွုတ္မဟုတ္ေသာ ၈ ထက္ငယ္သည့္စံုကိန္းမ်ား၏အစု={0,2,4,6}
or (3) အႏွုတ္မဟုတ္ေသာကိန္ျပည့္မ်ား၏အစု={0,1,2,3,4,……}တို႔သည္ universal set ျဖစ္ႏိုင္သည္။

1.1.7 Complement of a set
              S={1,2,3,4,5};A={2,4,5} ဟာ
S ရဲ့အစုပိုင္းဘဲ။Aထဲကမဟုတ္တဲ့Sထဲကအစုဝင္ေတြကိုစုပါ။
(ဆိုလိုတာS\A) {1,3}ငါတို ့ရမယ္။အဲဒီအစုပိုင္း
ကိုAရဲ့ျဖည့္ဖက္ (complement of the set A with respect to S)လို႔ေခၚၿပီးA'လို႔သတ္မွတ္မယ္။(A prime လို႔ဖတ္မယ္။)
                    Fig 1.13 ကိုၾကည့္ပါ။ A' = S\A ကိုသတိျပဳပါ။

4.S={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,5,7},B={1,3,5,7},C={2,4,6,8}
(1)A',B', နဲ႔ C' ကိုေဖာ္ျပပါ။(2)ေအာက္ပါ(a)မွ(h)တခုစီတို႔မွန္(သို႔)မွားေျဖပါ။
(1) A'=S\A
        ={4,6,8}
     B'=S\B
       ={2,4,6,8}
    C'={1,3,5,7}

(2)(a)A ⋂ A'={1,2,3,5,7} ⋂ {4,6,8}=ø                 True

     (b)A∪A'={1,2,3,5,7}∪{4,6,8}={1,2,3,4,5,6,7,8}=S    True
     (g)  B' = S\B = {2,4,6,8} = C       True

1.1.8 Number of elements in a set
      
       ၾကိဳက္ရာအစု A ဆိုပါစို႔ n(A) "n of A ဟုဖတ္ပါ "ဆိုတာအစုAထဲမွာရွိတဲ့အစုဝင္အေရအတြက္ဘဲ။

Theorem
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A ⋂ B)

Example 1. A={a,b,c,d,e,f},B={a,e,i,o,u,w,y}ျဖစ္လွ်င္ n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A⋂B)ကိုသက္ေသျပပါ။
Solution
A∪B={a,b,c,d,e,f,i,o,u,w,y},A⋂B={a,e}
n(A∪B)=11,n(A⋂B)=2,n(A)=6,n(B)=7
n(A)+n(B)-n(A⋂B)=6+7-2=11=n(A∪B)



1.1.10 Product Set
  a ႏွင္​့ b တို႔သည္​ႀကိဳက္​ရာအစုဝင္​ႏွစ္​ခုျဖစ္​လ်ွင္​(a,b)ကို​ကန္​႔သတ္​စံုတြဲဟုသတ္​မွတ္​ၿပီး a ကိုပထမအစုဝင္​ႏွင္​့ b ကိုဒုတိယအစုဝင္​ဟု​ေခၚသည္​။ကန္​႔သတ္​စံုတြဲ (a,b)ႏွင္​့(c,d)ညီလ်ွင္​/မွသာလ်ွင္​a=cႏွင့္b=dျဖစ္​မည္​။  

  Definition : အစုႏွစ္ခု A ႏွင့္ B ၏ေျမွာက္လဒ္သည္ a in A ႏွင့္ b in B တို့႔၏ကန့္႔သတ္စံုတြဲမ်ားအားလံုး၏အစုျဖစ္သည္။ယင္းကို A×Bဟုသတ္မွတ္၍ A croos B ဟုဖတ္သည္။သေကၤတအားျဖင့္

    A × B ={(a,b)/a in A,b in B} မွ


.မွတ္ရန္။   ။ေစ့ေစ့စပ္စပ္ဆိုရလ်ွင္  A × B not= B × A

               ,∈